题目内容

A(x1y1),B(x2y2)是椭圆=1(a>b>0)上的两点,已知向量

m·n=0且椭圆的离心率e,短轴长为2,O为坐标原点.

(1)求椭圆的方程;

(2)若直线AB的斜率存在且直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值;

(3)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

.

(2)由题意,设直线AB的方程为ykx

y=4x.

A(x1y1)在椭圆上,

所以SAOB|x1|·|y1y2|=|x1|·|y1|=1,

所以△AOB的面积为定值.

②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为ykxb.

所以△AOB的面积为定值.

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