题目内容
15．各项均为正数的等比数列{an}的公比q≠1，a2，$\frac{1}{2}$a3，a1成等差数列，则$\frac{{a}_{3}{a}_{4}+{a}_{2}{a}_{6}}{{a}_{2}{a}_{6}+{a}_{4}{a}_{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．分析 根据等差中项的定义建立方程关系，结合等比数列的通项公式求出公比即可．
解答 解：∵a2，$\frac{1}{2}$a3，a1成等差数列，
∴a2+a1=2×$\frac{1}{2}$a3=a3，
即a1q2-a1-a1q=0，
即q2-q-1=0，
解得q=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∵各项均为正数，
∴q＞0，∴q=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{3}{a}_{4}+{a}_{2}{a}_{6}}{{a}_{2}{a}_{6}+{a}_{4}{a}_{5}}$=$\frac{1}{q}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
点评 本题主要考查等比数列公比的求解，根据等差数列和等比数列的性质和通项公式是解决本题的关键．
练习册系列答案
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| A． | f（-3）＜f（-2） | B． | f（3）＜f（2） | C． | f（-3）＜f（-π） | D． | f（-2）＜f（1） |
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| A． | $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{2}+\sqrt{6}$ | C． | $\sqrt{3}+\sqrt{6}$ | D． | 2+$\sqrt{3}$ |