题目内容
【题目】已知圆C1:与y轴交于O,A两点,圆C2过O,A两点,且直线C2O恰与圆C1相切;
(1)求圆C2的方程。
(2)若圆C2上一动点M,直线MO与圆C1的另一交点为N,在平面内是否存在定点P使得PM=PN始终成立,若存在,求出定点坐标,若不存在,说明理由。
【答案】(1);(2)存在,且为
.
【解析】
试题分析:(1)由圆方程求得它与
轴交点
坐标,可设圆
的一般方程
,利用O,A在圆
上可得
,这样可写出圆心
坐标,利用切线即
可求得
;(2)如果存在,则
在线段
的中垂线上,假设直线
方程为
,与两圆方程联立可解得
坐标,求出线段
的垂直平分线的方程,由直线方程观察它是否过一个定点,如果过定点就是所要求的
点.
试题解析:(1)O(0,0),A(0,4),设圆C2的方程为,易得F=0,E=-4.故C2(-
),由C2O⊥C1O得D=2,故圆C2的方程为
。
(2)存在,设MN直线方程为y=kx,分别与圆C1、圆C2联立
与
求得M(
,
),
N(,
),中点H(
,
),中垂线方程为:
,化简为:
恒过定点(3,4)即为所求点P。
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