Question

已知圆C的方程为x²+y²=4
（1）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，若|AB|=2

3

，求直线l的方程
（2）过动点M（x，y）作圆的切线，切点为N，若|MN|=|MP|，求动点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）分类讨论：①当直线l垂直于x轴时；②若直线l不垂直于x轴．对于②，设其方程为y-2=k（x-1），结合直线与圆的位置关系利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．（2）将条件|MN|=|MP|，转化为|CM|²-r²=|MP|²可求．

解答：解：（1）（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，
则此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为 (1，

3

)和 (1，-

3

)，其距离为2

3

满足题意
②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0
设圆心到此直线的距离为d，则 2

3

=2

4-d2

，得d=1，∴1=

|-k+2|

k2+1

，k=

3

4

，故所求直线方程为3x-4y+5=0
综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1
（2）设动点M（x，y），过M作圆的切线，切点为N，则MN|=

CM2-r2

，∵|MN|=|MP|，∴|CM|²-r²=|MP|²，∴2x+4y-9=0

点评：本题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用、轨迹方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题