Question

【题目】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1⊥底面ABCD，E为B1D的中点．
（Ⅰ）证明：平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角D﹣AE﹣C为60°，AA1=AB=1，求三棱锥C﹣AED的体积．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF， 因为E为B1D中点，F为BD中点，
所以EF∥BB1 ，
因为BB1⊥平面ABCD，
所以EF⊥平面ABCD，
又因为EF在平面ACE内，
所以平面ACE⊥平面ABCD．（6分）
解：（Ⅱ）由于四边形ABCD是菱形，所以以F为坐标原点，
分别以FC，FD，FE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设FA=a，FD=b，有a2+b2=1，
A（﹣a，0，0），C（a，0，0），D（0，b，0）， ，
， ，
设平面ADE的法向量为 ，
平面ACE的法向量为 ，（8分）
由题意知 ，解得 ．（10分）
所以菱形ABCD为正方形，
所以三棱锥C﹣ADE的体积 ．（12分）

【解析】（Ⅰ）连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，则EF∥BB1 ， 从而EF⊥平面ABCD，由此能证明平面ACE⊥平面ABCD．（Ⅱ）以F为坐标原点，以FC，FD，FE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥C﹣ADE的体积．
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．