题目内容

【题目】如图,六面体ABCDHEFG中,四边形ABCD为菱形,AE,BF,CG,DH都垂直于平面ABCD.若DA=DH=DB=4,AE=CG=3。

(1)求证:EG⊥DF;

(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值.

【答案】见解析

【解析】

解:(1)证明:连接AC,由AE CG可知四边形AEGC为平行四边形.

所以EG∥AC,而AC⊥BD,AC⊥BF,所以EG⊥BD,EG⊥BF,

因为BD∩BF=B,所以EG⊥平面BDHF,又DF平面BDHF,所以EG⊥DF。

(2)设AC∩BD=O,EG∩HF=P,由已知可得:平面ADHE∥平面BCGF,所以EH∥FG,同理可得:EF∥HG,所以四边形EFGH为平行四边形,所以P为EG的中点,O为AC的中点,所以OP綊AE,

从而OP⊥平面ABCD,

又OA⊥OB,所以OA,OB,OP两两垂直,由平面几何知识,得BF=2。

如图,建立空间直角坐标系Oxyz,则B(0,2,0),E(2,0,3),F(0,2,2),P(0,0,3),

所以=(2,-2,3),=(2,0,0,),=(0,2,-1).

设平面EFGH的法向量为n=(x,y,z),

可得

令y=1,则z=2。

所以n=(0,1,2).

设BE与平面EFGH所成角为θ,则sin θ=

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