Question

（2012•杭州一模）把函数f（x）的导数记为f′（x），f′（x）的导数记为f^″（x），f^″（x）的导数记为f^′″（x），f^′″（x）的导数记为f^（4）（x），…，一般地，f^（n）（x）（n∈N^*，n≥4）的导数记为f^（n+1）（x）．令f（x）=ln（1+x），易得f′(x)=

1

1+x

，f″(x)=-

1

(1+x)2

，f″′(x)=

2

(1+x)3

，f(4)(x)=-

6

(1+x)4

，f(5)(x)=

24

(1+x)5

，由此归纳：当n≥4时，f^（n）（x）=

(-1)n-1(n-1)!

(1+x)n

．

Answer 1

分析：通过计算前几项，进行归纳分析，当计算到f′′′′（x）时发现各项的符号成正负相间，分母的次数与导数次数相等，分子是导数次数少1的阶乘，从而得出结论．

解答：解：f′(x)=

1

1+x

，f″(x)=-

1

(1+x)2

，f″′(x)=

2

(1+x)3

，f(4)(x)=-

6

(1+x)4

，f(5)(x)=

24

(1+x)5

，
各项的符号成正负相间，分母的次数与导数次数相等，分子是导数次数少1的阶乘，
则当n≥4时，f^（n）（x）=

(-1)n-1(n-1)!

(1+x)n

，
故答案为：

(-1)n-1(n-1)!

(1+x)n

．

点评：本题考查了计算型归纳推理，通过计算归纳一般规律．