题目内容
证明：函数f（x）=-2x2+1是偶函数，且在[0，+∞）上是减少的．
证明：函数f（x）的定义域为R，
对于任意的x∈R，都有f（-x）=-2（-x）2+1=-2x2+1=f（x），
∴f（x）是偶函数；
在区间[0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则有
f（x1）-f（x2）=(-2x12+1)-(-2x22+1)=2(x22-x12)=2（x2+x1）（x2-x1），
∵x1，x2∈[0，+∞），x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1+x2＞0，
即2（x2-x1）•（x1+x2）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在[0，+∞）上是减少的．
对于任意的x∈R，都有f（-x）=-2（-x）2+1=-2x2+1=f（x），
∴f（x）是偶函数；
在区间[0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则有
f（x1）-f（x2）=(-2x12+1)-(-2x22+1)=2(x22-x12)=2（x2+x1）（x2-x1），
∵x1，x2∈[0，+∞），x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1+x2＞0，
即2（x2-x1）•（x1+x2）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在[0，+∞）上是减少的．
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