题目内容
【题目】如图,椭圆C:(
),
,
分别是椭圆C的左,右焦点,点D在椭圆上,且
,
,
的面积为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过的直线l与椭圆C交于M,N两点,在x轴上是否存在点A,使
为常数?若存在,求出点A的坐标和这个常数;若不存在,请说明理由
【答案】(1)(2)
,常数为
.
【解析】
(1)根据线段比例关系及面积,集合椭圆中关系,可得方程组,解方程即可求得椭圆的标准方程.
(2)假设存在点满足
为常数.当斜率存在时,设出直线方程,并联立椭圆方程,由韦达定理表示出
,进而表示出
.根据平面向量数量积的坐标运算,结合系数比相同时为常数,即可求得
的值,进而确定
的值;当斜率不存在时,易得两个交点坐标,即可确定取
的值时
的值是否与斜率存在时的一致.
(1)椭圆C:(
),
,
分别是椭圆C的左,右焦点,点
在椭圆上,且
,
.
则点的坐标为
,(
).代入椭圆方程可得
,
解得.
又因为,
的面积为
.
所以 ,解得
所以椭圆的标准方程为.
(2)假设在轴上存在点A,使
为常数,设
.
当直线的斜率存在时,直线过
,设
.
.
则,化简可得
,
所以.
所以,
则
,
因为为常数,
所以,解得
,
此时
当直线的斜率不存在时,直线
与椭圆的两个交点坐标分别为
.
则
所以
当时,
.
综上可知,在轴上存在点
,使得
为常数,该常数为
.
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练习册系列答案
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人数 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
件数 | 4 | 7 | 12 | 15 | 20 | 23 | 27 |
(1)在答题卡给定的坐标系中画出表中数据的散点图,并由散点图判断销售件数与进店人数
是否线性相关?(给出判断即可,不必说明理由);
(2)建立关于
的回归方程(系数精确到0.01),预测进店人数为80时,商品销售的件数(结果保留整数).
(参考数据:,
,
,
,
,
)
参考公式:,
,其中
,
为数据
的平均数.