Question

有下列四个命题，其中真命题有（　　）
①{a_n}为等比数列，则a₁+a₅≤a₂+a₄；
②{a_n}为等差数列，则a₁•a₅≤a₂•a₄；
③对任意α，β，都有sin（α+β）sin（α-β）=sin²α-sin²β；
④对任意α，β，都有cos（α+β）≠cosα+cosβ．

A．①②

B．②③

C．②④

D．③④

Answer 1

分析：通过给变量取特殊值，举反例可得①④不正确，根据 a₂•a₄ -a₁•a₅ =3d²≥0，可得②正确．
利用两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系化简sin（α+β）sin（α-β）=sin²α-sin²β，故③正确．

解答：解：①不正确，如 a_n =

1

2n-1

 时，a₁+a₅ =

17

16

，a₂+a₄ =

5

8

．
②正确，因为 a₂•a₄ -a₁•a₅ =3d²≥0．
③正确，因为sin（α+β）sin（α-β）=（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ-cosαsinβ）
=sin²αcos²β-cos²αsin²β=sin²α（1-sin²β）-（1-sin²α）sin²β=sin²α-sin²β．
④不正确，如α  = 

π

3

 ， β =-

π

3

 时，cos（α+β）=1，cosα+cosβ=

1

2

+

1

2

=1．
故②③正确，①④不正确．
故选B．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质、等比数列的定义和性质，两角和的正弦公式．通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．