Question

1．已知F₁、F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左右两个焦点，过F₂且斜率为1的直线l交椭圆于A、B两点．
（Ⅰ）求直线l的方程及△AF₁B的周长；
（Ⅱ）求线段|AB|的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得双曲线的a，b，c，右焦点，可得直线的方程y=x-$\sqrt{7}$，代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，再由双曲线的定义可得△AF₁B的周长为4a+2|AB|=8+2|AB|，计算即可得到；
（Ⅱ）由（Ⅰ）即可得到弦长．

解答 解：（Ⅰ）双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{7}$，
右焦点F₂（$\sqrt{7}$，0），即有直线l的方程为y=x-$\sqrt{7}$，
代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得x²-8$\sqrt{7}$x+40=0，
即有x₁+x₂=8$\sqrt{7}$，x₁x₂=40，
则A，B为右支上的两点，
设|AF₂|=m，|BF₂|=n，则|AF₁|=2a+m，|BF₁|=2a+n，
即有△AF₁B的周长为4a+2|AB|=8+2|AB|，
由弦长公式可得|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（8\sqrt{7}）^{2}-4×40}$=24，
即有△AF₁B的周长为8+48=56；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|AB|=24．

点评 本题考查双曲线的定义、方程的运用，考查直线和双曲线联立方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．