Question

设数列的各项均为正实数，，若数列满足，，其中为正常数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得当时，恒成立？若存在，求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若，设数列对任意的，都有成立，问数列是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）．

试题分析：（1）由条件可知，数列为等差数列，又知，其通项公式易求，再根根据数列与数列的关系，可求出数列的通项公式；（2）由（1）中所求的数列的通项公式，可对进行化简，然后再对其考察；（3）当时，结合（1）的结果，可求出，代入中，设法对其变形处理，找到的递推关系再进行判断.
试题解析：
（1）因为，所以，所以数列是以为公差的等差数列，又，所以，          2分
故由，得.                     4分
（2）因为，所以，
又，所以，                                  6分
（ⅰ）当时，，解得，不符合题意；   7分
（ⅱ）当时，，解得或.                8分
综上所述，当时，存在正整数使得恒成立，且的最小值为4.
9分
（3）因为，由（1）得，
所以       ①，
则    ②，
由②①，得                 ③， 12分
所以                   ④，
再由④③，得，即，
所以当时，数列成等比数列，                          15分
又由①式，可得，，则，所以数列一定是等比数列，且.
16分
（说明：若第（3）小题学生由前几项猜出等比数列，再代回验证的，扣3分）