Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4π）=f（x）+f（2π）成立，那么函数f（x）可能是（ ）
A.f（x）=2sin x
B.f（x）=2cos2 x
C.f（x）=2cos2 x
D.f（x）=2cos x

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（x+4π）=f（x）+f（2π）， ∴f（﹣2π+4π）=f（﹣2π）+f（2π），
∴f（﹣2π）=0，
又函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（2π）=0．
∴f（x+4π）=f（x）+0=f（x），
∴f（x）是以4π为周期的函数．
f（x）=2cos2 x=1+cos x，以4π为周期的函数．
故选：B．
【考点精析】利用函数奇偶性的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．