Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）．

（1）若椭圆的离心率为 ，且点（1， ）在椭圆上，
①求椭圆的方程；
②设P（﹣1，﹣ ），R、S分别为椭圆C的右顶点和上顶点，直线PR和PS与y轴和x轴相交于点M，N，求直线MN的方程．
（2）设D（b，0），过D点的直线l与椭圆C交于E、F两点，且E、F均在y轴的右侧， =2 ，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵椭圆C： =1（a＞b＞0），椭圆的离心率为 ，且点（1， ）在椭圆上，

∴ ，解得a=2，b=1，

∴椭圆的方程为 =1．

②P（﹣1，﹣ ），R、S分别为椭圆C： =1的右顶点和上顶点，直线PR和PS与y轴和x轴相交于点M，N，

∴R（2，0），S（0，1），

∴直线PR： ，即 x﹣6y﹣2 =0，∴M（0，﹣ ），

直线PS： ，即（ ）x﹣2y+2=0，∴N（2 ﹣4，0），

∴直线MN的方程为： ，即y=﹣ ．

（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），∵ ，∴ ．

根据题意 ，解得 ，

连SD，延长交椭圆于点Q．

直线SD的方程为x+y﹣b=0，代入椭圆方程解得Q点的横坐标 ，

所以， ，即a4﹣4a2b2+3b4＜0，

解得b2＜a2＜3b2，即a2＜3（a2﹣c2），

∴ ＜ ， ．

∴椭圆离心率e的取值范围为（0， ）．

【解析】（1）①由题意可得含有a，b，c的方程组，解方程组可得a，b的值，从而可得椭圆的方程；②先求出点R，S的坐标，再求出直线PR，直线PS的方程，进而可得点M，N的坐标，从而可得直线MN的方程．（2）先设点E，F的坐标，联立方程组可解得x1，再连结SD，延长交椭圆于点Q，求出直线SD的方程，代入椭圆方程可解得xQ，进而可得含有a，c的不等式，从而可得椭圆离心率的取值范围．