题目内容

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积 $数学公式$ ．
（1）求角A的正弦值；
（2）若a=3，b＜c，S=6，D为△ABC内任意一点，且到三边距离之和为d．①求边b，c的长；②求d的取值范围．

解：（1）由条件，△ABC的面积 $\text{[math]}$ ，
而b²+c²-a²=2bccosA，
∴ $\text{[math]}$ …（3分）
又△ABC的面积 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
由于sin²A+cos²A=1，所以 $\text{[math]}$ ． …（6分）
（2）①由a=3，S=6，b²+c²=41
又 $\text{[math]}$ ，
∴bc=20…（8分）∵b＜c，
∴b=4，c=5…（10分）
②由b=4，c=5，∵a=3，∴△ABC为直角三角形
建立如图所示的直角坐标系，则A（4，0），B（0，3）
设△ABC内任意一点D的坐标为（x，y），
它到AB的距离为z，
则 $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ …（12分）
由图知，（x，y）满足 $\text{[math]}$ …（14分）
根据线性规划知识，得 $\text{[math]}$ ，
所以，d的取值范围为 $\text{[math]}$ ． …（16分）
分析：（1）利用三角形的面积，结合余弦定理直接求出A的值．
（2）△ABC为直角三角形，建立如图所示的直角坐标系，则A（4，0），B（0，3），设△ABC内任意一点D的坐标为（x，y），设出AB的距离为z，根据面积、距离利用根据线性规划知识，d的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题是中档题，考查三角函数与余弦定理的应用，线性规划的知识，考查计算能力．