Question

20．讨论函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的单调区间．

Answer 1

分析 根据已知中函数的解析式，确定函数的定义域，并分析定义域内各个区间上导函数的符号，进而可得答案．

解答 解：函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的定义域为{x|x≠0}，
f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
当x∈（-∞，-$\sqrt{a}$），或x∈（$\sqrt{a}$，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（-$\sqrt{a}$，0），或x∈（0，$\sqrt{a}$）时，f′（x）＜0，
故函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的单调递增区间为（-∞，-$\sqrt{a}$），（$\sqrt{a}$，+∞）；
函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的单调递减区间为（-$\sqrt{a}$，0），（0，$\sqrt{a}$）．

点评 本题主要考查了函数的单调性的判断与证明，导数法确定函数的单调性，难度不大，属于基础题．