题目内容
选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵
的属于特征值b的一个特征向量为
，求实数a、b的值．C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线
（t为参数，p为正常数），求p的值．D．（不等式选讲）
设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证：
．
【答案】分析：A、连接OD，则OD⊥DC，先确定∠ODE=30°，再在Rt△ODC中，可求BC的长；
B．根据二阶矩阵的特征值与特征向量的概念，建立方程组，即可求得结论；
C．化参数方程为普通方程，将点A（1，-2）代入，即可求得p的值；
D．a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1＞0，利用基本不等式即可证明．
解答：A、解：连接OD，则OD⊥DC，
在Rt△OED中，
OB=
OD，所以∠ODE=30°，
在Rt△ODC中，∠DCO=30°，由DC=2得OD=DCtan30°=
，
所以BC=
．
B．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知
=
，
所以
，解得a=1，b=3．
C．解：由
（t为参数，p为正常数），消去参数t得y2=2px，将点A（1，-2）代入y2=2px得p=2．
D．证明：因为a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1＞0，
所以
=
，
当且仅当
时等号成立，
所以
．
点评：本题是选考内容．A．主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力；B\主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力；C主要考查参数方程，考查运算求解能力；D主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．
B．根据二阶矩阵的特征值与特征向量的概念，建立方程组，即可求得结论；
C．化参数方程为普通方程，将点A（1，-2）代入，即可求得p的值；
D．a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1＞0，利用基本不等式即可证明．
解答：A、解：连接OD，则OD⊥DC，
在Rt△OED中，
OB=OD，所以∠ODE=30°，在Rt△ODC中，∠DCO=30°，由DC=2得OD=DCtan30°=
，所以BC=
．B．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知
=，所以
，解得a=1，b=3．C．解：由
（t为参数，p为正常数），消去参数t得y2=2px，将点A（1，-2）代入y2=2px得p=2．D．证明：因为a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1＞0，
所以
=，当且仅当
时等号成立，所以
．点评：本题是选考内容．A．主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力；B\主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力；C主要考查参数方程，考查运算求解能力；D主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．
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选修4-1：几何证明选讲
,N=
，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
。
，求矩阵A．
在第一象限处的一点P（x，y）分别作x轴、y轴的两条垂线，垂足分别为M、N，求矩形PMON周长最大值时点P的坐标．