题目内容

(06年湖北卷理)(14分)

是函数的一个极值点。

(Ⅰ)、求的关系式(用表示),并求的单调区间;

(Ⅱ)、设。若存在使得成立,求的取值范围。

点评:本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解析:(Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,

由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,

则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x

=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.

令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,

所以x+a+1≠0,那么a≠-4.

当a<-4时,x2>3=x1,则

在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;

在区间(3,a1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;

在区间(a1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数。

当a>-4时,x2<3=x1,则

在区间(-∞,a1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;

在区间(a1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;

在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],

而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,

那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].

在区间[0,4]上是增函数,

且它在区间[0,4]上的值域是[a2,(a2)e4],

由于(a2)-(a+6)=a2-a+=(2≥0,所以只须仅须

(a2)-(a+6)<1且a>0,解得0.

故a的取值范围是(0,)。

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