题目内容

(06年湖北卷理)(12分)

设函数,其中向量

(Ⅰ)、求函数的最大值和最小正周期;

(Ⅱ)、将函数的图像按向量平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的

点评:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力。

解析:(Ⅰ)由题意得,f(x)=a?(b+c)=(sinx,-cosx)?(sinx-cosx,sinx-3cosx)

               =sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+sin(2x+).

所以,f(x)的最大值为2+,最小正周期是.

(Ⅱ)由sin(2x+)=0得2x+=k.,即x=,k∈Z,

于是d=(,-2),k∈Z.

因为k为整数,要使最小,则只有k=1,此时d=(,2)即为所求.

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