题目内容

(本题满分14分)

在梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,A、B是两个定点,其坐

标分别为(0,-1)、(0,1),C、D是两个动点,且满足|CD|=|BC|.

(1)求动点C的轨迹E的方程;

(2)试探究在轨迹E上是否存在一点P?使得P到直线y=x-2的

距离最短;

(3)设轨迹E与直线所围成的图形的

面积为S,试求S的最大值。

其它解法请参照给分。

(1) x2=4y(x≠0,x≠)   (3)


解析:

(1) 解法1:依题意知,CD⊥AD,且|CD|=|BC|.依抛物线的定义可知点C的轨迹是以B为焦点,以AD为准线的抛物线除去顶点和与直线y=1的交点。---2分∵|OB|=1  ∴C的轨迹E的方程为x2=4y(x≠0,x≠)--4分

解法2:设C(x,y)则|CD|=y+1,|CB|=,

又|CD|=|BC|. ,化简得:x2=4y(x≠0,x≠

(2)解法1:设P(x,y)是轨迹E上一点,则P到直线y=x-2的距离

 

       当x=2时,d取得最小值,这时x=2,y=1, ---------------------7分

     即点P(2,1).但由(Ⅰ)知点(2,1)不在轨迹E上,∴在轨迹E上这样的点P不存在。--8分

解法2:所求点即与直线y=x-2平行的轨迹E的切线与E的切点,

,∴

下同解法1。

解法3:设与直线y=x-2 平行,与抛物线E相切的直线为

x-y+m=0,由方程组

  有一解得方程 有两个相等的实根

   ∴m=-1从而得方程组的解为,下同上.

(3)    ∵-2<a<0 ∴ 0<a+2<2

根据图形结合定积分的几何意义可得:

 ----------------------------11分

 ----------------------------13分

时, ------------- --------------14分

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