题目内容
(本题满分14分)
在梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,A、B是两个定点,其坐
标分别为(0,-1)、(0,1),C、D是两个动点,且满足|CD|=|BC|.
(1)求动点C的轨迹E的方程;
(2)试探究在轨迹E上是否存在一点P?使得P到直线y=x-2的
距离最短;
(3)设轨迹E与直线所围成的图形的
面积为S,试求S的最大值。
其它解法请参照给分。
(1) x2=4y(x≠0,x≠) (3)
解析:
(1) 解法1:依题意知,CD⊥AD,且|CD|=|BC|.依抛物线的定义可知点C的轨迹是以B为焦点,以AD为准线的抛物线除去顶点和与直线y=1的交点。---2分∵|OB|=1 ∴C的轨迹E的方程为x2=4y(x≠0,x≠)--4分
解法2:设C(x,y)则|CD|=y+1,|CB|=,
又|CD|=|BC|. ,化简得:x2=4y(x≠0,x≠)
(2)解法1:设P(x,y)是轨迹E上一点,则P到直线y=x-2的距离
当x=2时,d取得最小值,这时x=2,y=1, ---------------------7分
即点P(2,1).但由(Ⅰ)知点(2,1)不在轨迹E上,∴在轨迹E上这样的点P不存在。--8分
解法2:所求点即与直线y=x-2平行的轨迹E的切线与E的切点,
由得, ,∴,
下同解法1。
解法3:设与直线y=x-2 平行,与抛物线E相切的直线为
x-y+m=0,由方程组
有一解得方程 有两个相等的实根
∴ ∴m=-1从而得方程组的解为,下同上.
(3) ∵-2<a<0 ∴ 0<a+2<2
根据图形结合定积分的几何意义可得:
----------------------------11分
----------------------------13分
当时, ------------- --------------14分