Question

19．已知f（$\frac{1}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）=$\frac{x-1}{x+1}$
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求满足f（2^3-2x）+$\frac{15}{17}$≤0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令t=$\frac{1}{2}$$lo{g}_{\frac{1}{2}}$x，解得x=$（\frac{1}{4}）^t$，所以，f（t）=$\frac{（\frac{1}{4}）^t-1}{（\frac{1}{4}）^t+1}$=$\frac{1-4^t}{1+4^t}$；
（2）根据f（x）+f（-x）=$\frac{1-4^x}{1+4^x}$+$\frac{1-{4}^{-x}}{1+{4}^{-x}}$=$\frac{1-4^x}{1+4^x}$+$\frac{4^x-1}{4^x+1}$=0，得出f（x）为奇函数；
（3）根据函数f（x）单递减解不等式f（2^3-2x）+$\frac{15}{17}$≤0即可．

解答 解：（1）令t=$\frac{1}{2}$$lo{g}_{\frac{1}{2}}$x，解得x=$（\frac{1}{2}）^{2t}$=$（\frac{1}{4}）^t$，$lo{g}_{\frac{1}{2}}$
所以，f（t）=$\frac{（\frac{1}{4}）^t-1}{（\frac{1}{4}）^t+1}$=$\frac{1-4^t}{1+4^t}$，故f（x）=$\frac{1-4^x}{1+4^x}$，x∈R；
（2）∵f（x）+f（-x）=$\frac{1-4^x}{1+4^x}$+$\frac{1-{4}^{-x}}{1+{4}^{-x}}$=$\frac{1-4^x}{1+4^x}$+$\frac{4^x-1}{4^x+1}$=0，
∴f（-x）=-f（x），因此，f（x）为奇函数；
（3）∵f（x）=$\frac{1-4^x}{1+4^x}$=-1+$\frac{2}{1+4^x}$，∴f（x）在R上单调递减，
且f（2）=$\frac{1-16}{1+16}$=-$\frac{15}{17}$，所以不等式f（2^3-2x）+$\frac{15}{17}$≤0可写成：
f（2^3-2x）≤-$\frac{15}{17}$=f（2），再根据单调递减得，2^3-2x≥2，解得x≤1，
故x的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题主要考查了函数解析式的解法，函数奇偶性的判断，以及运用函数的单调性解函数不等式，属于中档题．