Question

8．已知二次函数f（x）满足f（0）=1，单调减区间是（-∞，1]，最小值为-1，
（I）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，3），求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （I）设函数f（x）=ax²+bx+c，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=c=1}\\{-\frac{b}{2a}=1}\\{f（1）=a+b+c=-1}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）化简f（x）=2x²-4x+1=2（x-1）²-1，从而求函数的值域．

解答 解：（I）设函数f（x）=ax²+bx+c，由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=c=1}\\{-\frac{b}{2a}=1}\\{f（1）=a+b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得，a=2，b=-4，c=1；
故其解析式为f（x）=2x²-4x+1；
（2）f（x）=2x²-4x+1=2（x-1）²-1，
∵x∈[0，3），
∴（x-1）²∈[0，4），
∴2（x-1）²-1∈[-1，7），
故函数f（x）的值域为[-1，7）．

点评 本题考查了二次函数的解析式的求法及配方法的应用．