题目内容
（2005•上海模拟）已知f（x）是定义在R上的增函数，且记g（x）=f（x）-f（1-x）．
（1）设f（x）=x，若数列{an}满足a1=3，an=g（an-1），试写出{an}的通项公式及前2m的和S2m；
（2）对于任意x1、x2∈R，若g（x1）+g（x2）＞0，判断x1+x2-1的值的符号．
（1）设f（x）=x，若数列{an}满足a1=3，an=g（an-1），试写出{an}的通项公式及前2m的和S2m；
（2）对于任意x1、x2∈R，若g（x1）+g（x2）＞0，判断x1+x2-1的值的符号．
分析：（1）根据题意得an=g（an-1）=f（an-1）-f（1-an-1）=an-1-（1-an-1）=2an-1-1，则an-1=2（an-1-1），从而得到数列{an-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式和求和公式即可求出
（2）利用反证法的思想进行判断x1+x2-1的值的符号．若x1+x2-1≤0，则x1≤1-x2，x2≤1-x1，结合f（x）是定义在R上的增函数得出矛盾，从而得到x1+x2-1＞0．
（2）利用反证法的思想进行判断x1+x2-1的值的符号．若x1+x2-1≤0，则x1≤1-x2，x2≤1-x1，结合f（x）是定义在R上的增函数得出矛盾，从而得到x1+x2-1＞0．
解答：解：（1）an=g（an-1）=f（an-1）-f（1-an-1）=an-1-（1-an-1）=2an-1-1，则an-1=2（an-1-1），a1-1=2，即数列{an-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n+1，S2m=
+2m=22m+1+2m-2；
（2）若x1+x2-1≤0，则x1≤1-x2，x2≤1-x1，∵f（x）是定义在R上的增函数
∴f（x1）≤f（1-x2），f（x2）≤f（1-x1），则f（x1）+f（x2）≤f（1-x2）+f（1-x1）
∴f（x1）-f（1-x1）+f（x2）-f（1-x2）≤0，即g（x1）+g（x2）≤0，与g（x1）+g（x2）＞0矛盾，
∴x1+x2-1＞0
∴an=2n+1，S2m=
| 2(22m-1) |
| 2-1 |
（2）若x1+x2-1≤0，则x1≤1-x2，x2≤1-x1，∵f（x）是定义在R上的增函数
∴f（x1）≤f（1-x2），f（x2）≤f（1-x1），则f（x1）+f（x2）≤f（1-x2）+f（1-x1）
∴f（x1）-f（1-x1）+f（x2）-f（1-x2）≤0，即g（x1）+g（x2）≤0，与g（x1）+g（x2）＞0矛盾，
∴x1+x2-1＞0
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、数列与函数的综合、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
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