题目内容
已知平面直角坐标系中,A1(-2,0),A2(2,0)、A3(1,![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/57/189806715710021257/1.gif)
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(1)求圆C及椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的右焦点为F,点P为圆C上异于A1、A2的动点,过原点O作直线PF的垂线交直线x=2于点Q,判断直线PQ与圆C的位置关系,并给出证明.
解:(1)∵|OA1|=|OA2|=|OA3|=2,
∴外接圆C以原点O为圆心,线段OA1为半径,故其方程为x2+y2=4.
∴2a=4.∴a=2.又e=,∴c=
,可得b=
.∴所求椭圆C1的方程是
+
=1.
(2)直线PQ与圆C相切.
证明:设P(x0,y0)(x0≠±2),则y02=4-x02.当x0=时,P(
,±
),Q(2
,0),kOP·kPQ=-1,
∴OP⊥PQ;当x0≠2时,kPF=,∴kOQ=-
.
∴直线OQ的方程为y=-x.
因此,点Q的坐标为(2,
).
∵kPQ==
=
=
,
∴当x0=0时,kPQ=0,OP⊥PQ;当x0≠0时,kOP=,∴kPQ·kOP=-1,OP⊥PQ.
综上,当x≠±2时,OP⊥PQ,故直线PQ始终与圆C相切.
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A、
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B、
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C、
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D、
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