题目内容
已知平面直角坐标系中三点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（cosθ，sinθ），θ∈R，则△ABC面积的最大值为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
分析：由A与B两点的坐标求出直线AB的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出点C到直线AB的距离h即为三角形ABC中AB边上的高，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可得到h的最大值，再利用勾股定理求出线段AB的长度，进而利用三角形的面积公式即可求出面积的最大值．
解答：解：由A（3，0），B（0，4），
得到直线AB的方程为：y-4=
x，即4x+3y-12=0，
则点C到直线AB的距离h=
=
，（其中sinβ=
，cosβ=
），
又sin（θ+β）∈[-1，1]，
则当sin（θ+β）=-1时，hmax=
，
而|AB|=
=5，
所以△ABC面积的最大值为
×5×
=
．
故选C
得到直线AB的方程为：y-4=
| 0-4 |
| 3-0 |
则点C到直线AB的距离h=
| |4cosθ+3sinθ-12| |
| 5 |
| |5sin(θ+β)-12| |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
又sin（θ+β）∈[-1，1]，
则当sin（θ+β）=-1时，hmax=
| 17 |
| 5 |
而|AB|=
| 32+42 |
所以△ABC面积的最大值为
| 1 |
| 2 |
| 17 |
| 5 |
| 17 |
| 2 |
故选C
点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式及勾股定理化简求值，灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．
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