题目内容

若关于x的方程cos2x-sinx+a=0有解，则实数a的取值范是
[-
5
4
，1]
[-
5
4
，1]
．
分析：若方程cos2x-sinx+a=0有实数解，cos2x-sinx=-a，实数-a应该属于函数y=cos2x-sinx的值域，结合同角公式，再结合二次函数在定区间上的值域求法，易得函数y=cos2x-sinx的值域，进而得到实数a的取值范围．
解答：解：∵cos2x-sinx=1-sin2x-sinx
=-（sinx+
1
2
）2+
5
4

又∴-1≤sinx≤1
∴-1≤-（sinx+
1
2
）2+
5
4
≤
5
4

则关于x的方程cos2x-sinx+a=0有解，∴-1≤-a≤
5
4
，
故实数a的取值范围：[-
5
4
，1]．
故答案为：[-
5
4
，1]．
点评：本题主要考查方程根的问题转化为函数的值域求解，还涉及了三角函数，二次函数值域的求法．
练习册系列答案
相关题目
若关于x的方程mx=sin|x|（m＞0）在R上恰有3个根，且最小根为α，则有（　　）
A、m=tanαB、m=cosαC、tanα=αD、tanα=-α
已知奇函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，且-π≤φ≤0）的定义域为R，其图象C关于直线x=
π
4
对称，又f（x）在区间[0，
π
6
]上是单调函数．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）将图象C向右平移
π
4
个单位后，得到函数y=g（x）的图象．
①化简，并求值：
1+f(20°)+g(20°)
1+f(20°)-g(20°)
+4f（10°）；
②若关于x的方程f（x）=g（x）+m在区间[0，
π
6
]上有唯一实根，求实数m的取值范围．
若关于x的方程4x2+5x+k=0的两根为sinθ，cosθ，请写出一个以tanθ，cotθ为两根的一元二次方程：
9x2-32x+9=0（不唯一）
9x2-32x+9=0（不唯一）
．
已知函数f(x)=
3
asinωx•cosωx-cos2ωx+
3
2
(ω∈R+，a∈R)的最小正周期为π，其图象关于直线x=
π
6
对称．
（1）求函数f（x）在[0，
π
2
]上的单调递增区间；
（2）若关于x的方程1-f（x）=m在[0，
π
2
]上只有一个实数解，求实数m的取值范围．
（2013•淄博二模）已知函数f(x)=
3
sinωx•cosωx+cos2ωx-
1
2
(ω＞0)，其最小正周期为
π
2
．
（I）求f（x）的表达式；
（II）将函数f（x）的图象向右平移
π
8
个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，
π
2
]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

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