题目内容
【题目】已知函数f（x）=ex+2ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x2+1＜ex ．
【答案】
（1）解：由f（x）=ex+2ax，得f'（x）=ex+2a，
令x=0，可得f（0）=1，
可得y=f（x）在点A（0，1）处的切线斜率为e0+2a=﹣1，
即2a=﹣2，解得a=﹣1；
f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2，
当x＞ln2时，可得f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＜ln2时，可得f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x=ln2处，取得极小值，
且为2﹣2ln2，无极大值；
（2）证明：令g（x）=ex﹣x2﹣1，
则g'（x）=ex﹣2x，
由（Ⅰ）得，g（x）在x=ln2处，取得极小值，
且为最小值2﹣2ln2，
由2﹣2ln2＞0，
即有g′（x）＞0，
则g（x）在（0，+∞）递增，
可得g（x）＞g（0）=0，
即当x＞0时，x2+1＜ex．
【解析】（1）求得f（x）的导数，求得点A（0，1），可得切线的斜率，解方程可得a=﹣1；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到极小值，无极大值；（2）令g（x）=ex﹣x2﹣1，求出导数，再由（Ⅰ）可得g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）递增，即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数
的极值的方法是:（1）如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值（2）如果在附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值．
【题目】参加衡水中学数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行统计，得到如下数据和散点图：
定价 |
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年销售 |
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（参考数据：
）
（I）根据散点图判断，
与
，
与哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？
（II）根据（I）的判断结果有数据，建立关于的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）；
（III）定价为多少元/
时，年利润的预报值最大？
附：对一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
.
