题目内容

如图，某新建小区有一片边长为1（单位：百米）的正方形剩余地块ABCD，中间部分MNK是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数y=
2
9x
(
1
3
≤x≤
2
3
)的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路l与曲线段MN相切（切点记为P），并把该地块分为两部分．记点P到边AD距离为t，f（t）表示该地块在直路左下部分的面积．
（1）求f（t）的解析式；
（2）求面积S=f（t）的最大值．
（1）因为y=
2
9x
，所以y′=-
2
9x2
，又P（t，
2
9t
），
所以过点P的切线方程为y-
2
9t
=-
2
9t2
(x-t)，即y=-
2
9t2
x+
4
9t
，
令x=0，得y=
4
9t
，令y=0，得x=2t．
所以切线与x轴交点E（2t，0），切线与y轴交点F(0，
4
9t
)．
①当
2t≤1
4
9t
≤1
1
3
≤t≤
2
3
，即
4
9
≤t≤
1
2
时，切线左下方的区域为一直角三角形，
所以f(t)=
1
2
×2t×
4
9t
=
4
9
；
②当
2t＞1
4
9t
≤1
1
3
≤t≤
2
3
，即
1
2
＜t≤
2
3
时，切线左下方的区域为一直角梯形，
f(t)=
1
2
(
4
9t
+
4t-2
9t2
)•1=
4t-1
9t2
；
③当
2t≤1
4
9t
＞1
1
3
≤t≤
2
3
，即
1
3
≤t＜
4
9
时，切线左下方的区域为一直角梯形，
所以f(t)=
1
2
(
4t-9t2
2
+2t)•1=2t-
9
4
t2．
综上f(t)=
2t-
9
4
t2，
1
3
≤t＜
4
9
4
9
，
4
9
≤t≤
1
2
4t-1
9t2
，
1
2
＜t≤
2
3
．
（2）当
1
3
≤t＜
4
9
时，f(t)=2t-
9
4
t2=-
9
4
(t-
4
9
)2+
4
9
＜
4
9
，
当
1
2
＜t≤
2
3
时，f(t)=
4t-1
9t2
=-
1
9
(
1
t
-2)2+
4
9
＜
4
9
，
所以Smax=
4
9
．
所以面积S=f（t）的最大值为
4
9
．
练习册系列答案
相关题目
三个数的大小关系为（    ）
A．B．
C．D．
已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A．a2＞b2B．（
1
2
）a＜（
1
2
）b		C．lg（a-b）＞0D．
a
b
＞1
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30，t∈N﹢）的旅游人数f（t）（万人）近似地满足f（t）=4+
1
t
，而人均消费g（t）（元）近似地满足g（t）=120-|t-20|．
（1）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N﹢）的函数关系式；
（2）求该城市旅游日收益的最小值．
函数y=(
1
2
)x2+2x的单调增区间为（　　）
A．[-1，+∞）B．（-∞，-1]C．（-∞，+∞）D．（-∞，0]
函数f（x）=a2x-180+2012（a＞0且a≠1）的图象恒过定点______．
根据市场调查，某商品在最近的40天内的价格f（t）与时间t满足关系f(t)=
t+20，(0≤t＜20，t∈N)
-t+42，(20≤t≤40，t∈N)
，销售量g（t）与时间t满足关系g（t）=-t+50（0≤t≤40，t∈N），设商品的日销售额的F（t）（销售量与价格之积），
（Ⅰ）求商品的日销售额F（t）的解析式；
（Ⅱ）求商品的日销售额F（t）的最大值．
已知函数f（x）=a-
2
2x+1
（x∈R），a为实数
（1）试用单调性定义证明对任意实数a，f（x）在其定义域上为增函数；
（2）试确定a的值，使f（x）为奇函数．
将函数的图象向左平移1个单位，再将位于轴下方的图象沿轴翻折得到函数的图象，若实数满足则的值是（  ）
A．B．C．D．

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