Question

【题目】已知圆A：x2+y2+2x-15=0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线y=k（x-1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP=∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定点R（4，0）满足题设.

【解析】

（Ⅰ）求出圆心A，通过|NM|＝|NB|，推出点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其标准方程，求出a，c，即可求解椭圆方程．（Ⅱ）设存在点R（t，0）满足题设，联立直线y＝k（x﹣1）与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，通过直线RP与直线RQ的斜率之和为零，即可得到t的值．

解：（Ⅰ）圆A：（x+1）2+y2=16，圆心A（-1，0），由已知得|NM|=|NB|，

又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4＞|AB|=2，

所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，

设其标准方程C：，则2a=4，2c=2，所以a2=4，b2=3，

所以曲线C：；

（Ⅱ）设存在点R（t，0）满足题设，联立直线y=k（x-1）与椭圆方程，

消去y，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则由韦达定理得①，②，

由题设知OR平分∠PRQ直线RP与直RQ的倾斜角互补，

即直线RP与直线RQ的斜率之和为零，即，即，即2kx1x2-（1+t）k（x1+x2）+2tk=0③，

把①、②代入③并化简得，即（t-4）k=0④，

所以当k变化时④成立，只要t=4即可，所以存在定点R（4，0）满足题设.