题目内容
【题目】已知椭圆 :
,右顶点为
,离心率为
,直线
:
与椭圆
相交于不同的两点
,
,过
的中点
作垂直于
的直线
,设
与椭圆
相交于不同的两点
,
,且
的中点为
.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设原点 到直线
的距离为
,求
的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ) 得
.(Ⅱ)由
得
,
设 ,
,则
故 .
:
,即
.
由 得
,
设 ,
,
则 ,
故 .
故 =
.
又 .
所以 =
. 令
,
则 =
.
【解析】(Ⅰ)运用离心率公式和a,b,c的关系,解得a,b,进而得到椭圆方程;
(Ⅱ)设出AB的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理,可得中点的坐标,再设直线CD的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式和点到直线的距离公式,再由二次函数的最值,即可得到范围.

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