Question

设数列的前项和为，且．

(Ⅰ)求证数列是等比数列，并求的通项公式；

(Ⅱ)设数列的前n项和为，求的表达式；

（Ⅲ）对任意 ，试比较  与的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）由得，二式相减得：，

∴  ，∴数列是公比为2的等比数列，                ………………………3分

  又∵.           ………………………5分

（Ⅱ） ∵，

∴①

              ，②    …………7分

      ①－②得，

∴.                                 ………………………9分

（Ⅲ）∵，

∴，                   ………………………11分

当时，；

 当时，.                                   …………………………13分

综上，当或时，；当时，.             …………………………14分