题目内容
2.已知向量$\overrightarrow{a}$=(cos$\frac{3}{2}$x,sin$\frac{3}{2}$x),$\overrightarrow{b}$=(cos$\frac{x}{2}$,-sin$\frac{x}{2}$),且x∈[$\frac{π}{2}$,π].(1)若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|>$\sqrt{3}$,求x的取值范围;
(2)函数f(x)=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|,若对任意x1,x2∈[$\frac{π}{2}$,π],恒有|f(x1)-f(x2)|<t,求t的取值范围.
分析 (1)由向量加法的坐标运算求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 的坐标,进一步求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|,然后解三角不等式求x的范围;
(2)把$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$和|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|代入入f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|,整理后求出函数在[$\frac{π}{2}$,π]上的最值,求出两最值差的绝对值后可得t的范围.
解答 解:(1)∵$\overrightarrow{a}$=(cos$\frac{3}{2}$x,sin$\frac{3}{2}$x),$\overrightarrow{b}$=(cos$\frac{x}{2}$,-sin$\frac{x}{2}$),
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=(cos$\frac{3}{2}x$,sin$\frac{3}{2}x$)•(cos$\frac{x}{2}$,-sin$\frac{x}{2}$)=cos$\frac{3}{2}x$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3}{2}x$sin$\frac{x}{2}$=cos2x,
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{(cos\frac{3}{2}x+cos\frac{x}{2})^{2}+(sin\frac{3}{2}x-sin\frac{x}{2})^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}$=2|cosx|,
∵x∈[$\frac{π}{2}$,π],∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=-2cosx,
由-2cosx>$\sqrt{3}$⇒cosx<-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵x∈[$\frac{π}{2}$,π],∴$\frac{5π}{6}$<x≤π;
(2)∵f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|,
∴f(x)=cos2x-2cosx=2$(cosx-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{2}$,
∵-1≤cosx≤0,
∴-1≤f(x)≤3⇒|f(x1)-f(x2)|≤|3-(-1)|=4,
∴t>4.
点评 本题考查了平面向量数量积的运算,考查了向量的模,问题(1)训练了三角不等式的解法,(2)考查了数学转化思想,把对任意x1,x2∈[$\frac{π}{2}$,π]恒有|f(x1)-f(x2)|<t成立转化为求函数的最值问题,此题是中档题.
A. | 调查①采用系统抽样法,调查②采用分层抽样法 | |
B. | 调查①采用分层抽样法,调查②采用系统抽样法 | |
C. | 调查①采用分层抽样法,调查②采用抽签法 | |
D. | 调查①采用抽签法,调查②采用系统抽样法 |
A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{5π}{6}$ | D. | $\frac{2π}{3}$ |
A. | $\sqrt{2}$ | B. | 8 | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 2 |