Question

在三角形△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，sin²C=sin（A+B）•sin（A-B）则A=

 

；若a=6，则三角形ABC内切圆半径r的最大值是

 

．

Answer 1

分析：结合三角形的内角和公式可得A+B=π-C，代入已知sin²C=sin（A+B）•sin（A-B）化简可得，sinC=sin（A-B），根据角的范围从而可得A-B=C或A-B+C=π，从而可求结果；根据当三角形是一个等腰直角三角形时，内切圆的半径最大，根据勾股定理得到结果．

解答：解：∵A+B=π-C，
∴sin²C=sin（π-C）•sin（A-B）
∴sin²C=sinC•sin（A-B）
∴sinC=sin（A-B）
∴C=A-B或C+A-B=π（舍去）
∴C+B=A
∴A=

π

2

∵当三角形是一个等腰直角三角形时，内切圆的半径最大，
∴直角边的长度是x，有2x²=36
∴x=3

2

根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等，
得到内切圆的半径是3

2

-3
故答案为：

π

2

；3

2

-3

点评：本题主要考查了三角形的内角和公式和诱导公式，本题解题的关键是根据三角形内角和做出结果，本题是一个基础题．