题目内容

已知椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1，双曲线D与椭圆有相同的焦点F1，F2，P为它们的一个交点，若
PF1
•
PF2
=0，则双曲线的离心率e为（　　）
分析：根据椭圆的定义得到：|PF1|+|PF2|=4…①，再由数量积满足
PF1
•
PF2
=0，得到：|PF1|2+|PF2|2=12…②．由①②联解可得||PF1|-|PF2||=2
2
，得到双曲线的实轴2a'=2
2
，最后根据离心率的定义可得所求双曲线的离心率．
解答：解：∵椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1，
∴a2=4，b2=1，可得c2=a2-b2=3，所以a=2，c=
3

因此，椭圆的长轴2a=4，焦距为2c=2
3

∵点P在椭圆上，满足
PF1
•
PF2
=0，
∴|PF1|+|PF2|=4，…①
且PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2=12，…②
①②联解，得||PF1|-|PF2||=2
2

∵点P在双曲线上，
∴双曲线的实轴2a'=2
2
，
∵双曲线与椭圆有共同的焦点，
∴双曲线的焦距为2c=2
3
，故双曲线的离心率e=
2c
2a′
=
6
2

故选B
点评：本题给出双曲线与已知椭圆共焦点，求双曲线的离心率，着重考查了椭圆、双曲线的基本概念和平面向量数量积的运算等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，椭圆C的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），斜率为k（k≠0）的直线l经过点F2，交椭圆于A、B两点，且△ABF1的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点E为x轴上一点，
AF2
=λ
F2B
（λ∈R），若
F1F2
⊥(
EA
+λ
BE
)，求点E的坐标．
（2013•崇明县二模）已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
2
= 1（a＞0），其焦点在x轴上，点Q(
2
2
，
7
2
)为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x0，y0）满足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-
1
2
，求证：
x
2
0
+2
y
2
0
为定值；
（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．
（2007•河北区一模）已知椭圆C的方程为 
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0），过其左焦点F1（-1，0）斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点．
（Ⅰ）若
OP
+
OQ
与
a
=（-3，1）共线，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：x+y-
1
2
=0，在l上求一点M，使以椭圆的焦点为焦点且过M点的双曲线E的实轴最长，求点M的坐标和此双曲线E的方程．
已知椭圆C的方程为
x 2
4
+
y2
3
=1，过C的右焦点F的直线与C相交于A、B两点，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
与
m
-
OF
共线，则直线AB的方程是（　　）
已知椭圆C的方程为
x 2
4
+
y2
3
=1，过C的右焦点F的直线与C相交于A、B两点，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
与
m
-
OF
共线，则直线AB的方程是（　　）
A．2x-y-2=0B．2x+y-2=0C．2x-y+2=0D．2x+y+2=0

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