Question

（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。                                       
（I）求数列与数列的通项公式；
（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；
（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

Answer 1

解（I）当时，                                         
又                                                 

∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，         …………………………………3分
（II）不存在正整数，使得成立。
证明：由（I）知                                         

∴当n为偶数时，设                                         
∴
当n为奇数时，设
∴
∴对于一切的正整数n，都有                                         
∴不存在正整数，使得成立。     …………………………………8分
（III）由得                                        
又，                                        
当时，，
当时，

略