题目内容
【题目】已知函数,,.
(1)若且,求函数的最小值;
(2)若对于任意恒成立,求a的取值范围;
(3)若,求函数的最小值.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)先将函数化简,然后利用基本不等式求解出的最小值;
(2)先根据进行简单化简,然后将绝对值不等式平方,根据一次函数在给定区间上恒大于零列出不等式组,求解出的范围;
(3)因为是增函数,因此只需要考虑与的大小关系即可,对采用分类讨论的方法,即可求解出.
(1)因为且时,,
所以,取等号时,
所以的最小值为;
(2)因为对任意恒成立,所以对任意恒成立,
所以即对任意恒成立,
所以,解得:,
所以;
(3),
图象分别是以和为顶点的开口向上的型线,且两条射线的斜率为,
当时,即,所以,此时令,所以,
若,,此时恒成立,
所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:
若,,令,即,所以,
所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:
当时,即,所以,此时令,所以,
若时,,令,即,所以,
所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:
若时,,此时恒成立,
所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:
当时,则,所以,所以恒成立,
令,即,所以,当时,,
若时,则,
所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:
若时,则,
所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:
若,则,
所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:
综上所述:的最小值为.