题目内容

【题目】已知函数

(1)若,求函数的最小值;

2)若对于任意恒成立,求a的取值范围;

(3)若,求函数的最小值.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)先将函数化简,然后利用基本不等式求解出的最小值;

2)先根据进行简单化简,然后将绝对值不等式平方,根据一次函数在给定区间上恒大于零列出不等式组,求解出的范围;

3)因为是增函数,因此只需要考虑的大小关系即可,对采用分类讨论的方法,即可求解出.

1)因为时,

所以,取等号时

所以的最小值为

2)因为对任意恒成立,所以对任意恒成立,

所以对任意恒成立,

所以,解得:

所以

3

图象分别是以为顶点的开口向上的型线,且两条射线的斜率为

时,即,所以,此时令,所以

,此时恒成立,

所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:

,令,即,所以

所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:

时,即,所以,此时令,所以

时,,令,即,所以

所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:

时,,此时恒成立,

所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:

时,则,所以,所以恒成立,

,即,所以,当时,

时,则

所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:

时,则

所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:

,则

所以,此时为图中红色部分图象,对应如下图:

综上所述:的最小值为.

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