Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，过坐标原点O且斜率为

1

2

的直线l与C相交于A，B，|AB|=2

10

．
（1）求a，b的值；
（2）若动圆（x-m）²+y²=1与椭圆C和直线l都没有公共点，试求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，l：y=

x

2

，设A（2t，t）、B（-2t，t）（t＞0），由|AB|=2

10

得20t²=40，t=

2

，由此入手可解得a=4，b=2．
（2）由题意知3x²-8mx+4m²+12=0，动圆与椭圆没有公共点，由此知|m|＜3或|m|＞5．再由动圆（x-m）²+y²=1与直线y=

x

2

没有公共点．由此可得m的取值范围．

解答：解：（1）依题意，l：y=

x

2

（1分）
不妨设设A（2t，t）、B（-2t，-t）（t＞0）（2分）
由|AB|=2

10

得20t²=40，t=

2

（3分）
所以

8 a2 + 2 b2 =1 c a = a2-b2 a = 3 2

（（5分），）
解得a=4，b=2（6分）．
（2）由

x2 16 + y2 4 =1 (x-m)2+y2=1

消去y得3x²-8mx+4m²+12=0（7分）
动圆与椭圆没有公共点，当且仅当△=（-8m）²-4×3×（4m²+12）=16m²-144＜0或|m|＞5（9分）
解得|m|＜3或|m|＞5（10分）
动圆（x-m）²+y²=1与直线y=

x

2

没有公共点当且仅当

|m|

5

＞1，即|m|＞

5

（12分）解

|m|＜3 |m|＞ 5

或

|m|＞5 |m|＞

5

（13分）
得m的取值范围为{m|

5

＜m＜3或m＞5或-3＜m＜-

5

或m＜-5}．（14分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．