Question

已知函数，f（X）=log₂x的反函数为f^-1（x），等比数列{a_n}的公比为2，若f^-1（a₂）•f^-1（a₄）=2¹⁰，则2^{f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₉）}=（　　）

• A、2^1004×2008
• B、2^1005×2009
• C、2^1005×2008
• D、2^1004×2009

Answer 1

分析：本题由函数f（X）=log₂x可确定反函数f^-1（x），从而利用f^-1（a₂）•f^-1（a₄）=2¹⁰得到等比数列第二项与第四项的等式关系，并结合公比为2求出通项a_n=2^n-1，由此求出^{f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₉）}的值，进而可得答案．

解答：解：由f（X）=log₂x得f^-1（x）=2^x，所以f^-1（a₂）•f^-1（a₄）=2a22a4=2a2+a4=2¹⁰，所以a₂+a₄=10，
又公比q=2，所以a₁=1，
故a_n=2^n-1，
所以^{f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₉）}=log₂1+log₂2¹+log₂2²+log₂2³+^…+log₂2²⁰⁰⁸=1+2+3+^…+2008=

(1+2008)×2008

2

=1004×2009；
所以2^{f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₉）=21004×2009}
故选D．

点评：本题主要结合反函数知识考查了对数函数的运算性质，并兼顾了对等比数列知识的考查，综合性较强，有一定难度，易在计算中出现失误．