题目内容
直线l：y=k（x-1）过已知椭圆
经过点（0，
），离心率为
，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且
，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）由题设知
，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l方程y=k（x-1），且l与y轴交于M（0，-1），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由
得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，再由韦达定理结合题设条件能够推导出当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值
．
（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点
猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点
．
证明：由A（x1，y1），B（x2，y2），知D（4，y1），E（4，y2）．当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点
再证点
也在直线lBD上；所以当m变化时，AE与BD相交于定点
．
解答：解：（Ⅰ）由题设知
，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，∴椭圆C的方程
（3分）
（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l方程y=k（x-1），且l与y轴交于M（0，-k），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）
由
得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
∴
（6分）
又由
，
∴（x1，y1）=λ（1-x1，-y1），
∴
，同理∴
（8分）
∴
所以当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值
；（10分）
（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点
猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点
（11分）
证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）
当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点
∵
当
时，
=
=
∴点
在直线lAE上，同理可证，点
也在直线lBD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化．
，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l方程y=k（x-1），且l与y轴交于M（0，-1），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由
得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，再由韦达定理结合题设条件能够推导出当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值．（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点
猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点．证明：由A（x1，y1），B（x2，y2），知D（4，y1），E（4，y2）．当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点
再证点也在直线lBD上；所以当m变化时，AE与BD相交于定点．解答：解：（Ⅰ）由题设知
，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，∴椭圆C的方程（3分）（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l方程y=k（x-1），且l与y轴交于M（0，-k），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）
由
得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，∴
（6分）又由
，∴（x1，y1）=λ（1-x1，-y1），
∴
，同理∴（8分）∴
所以当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值
；（10分）（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点
猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点
（11分）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）
当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点
∵当
时，==∴点在直线lAE上，同理可证，点也在直线lBD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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