题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的极值点的个数;
(2)当时,若存在实数
,使得
,求
的最小值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)先求得函数的导函数
.令
,分离参数后构造函数
,并求得
,通过判断
在各区间内的符号,判断
的单调性及
的取值情况.即可根据
的取值情况,判断极值点的个数.
(2)将代入,并令
,即可用
表示出
与
,即可表示出
.构造函数
,并求得
,结合
的符号即可判断
的单调性,进而求得
的最小值.
(1)由题可知,
令,得
,
记,则
当时,
;
时,
;
时,
,
∴在
上单调递减,在
上单调递减,在
上单调递增,
又
时,
;
时,
;
时,
,
∴当时,函数
有2个极值点;
当时,函数
无极值点;
当时,函数
有1个极值点;
(2)当时,设
,
则,
∵,∴
,即
,
故,
,
∴,
,即
.
令,
则,
∵与
在
均单调递增,
∴在
均单调递增,且
,
∴当时,
,当
时,
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
∴当时,
取最小值,此时
,
即的最小值为
.
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