题目内容

16.已知直线l:y=m(m>0)与函数f(x)=|lnx|的图象交于A,B两点.
(1)求证:函数f(x)在A,B两点处的切线互相垂直.
(2)分析方程f(x)=$\frac{1}{x}$解的个数,并证明.

分析 (1)求导数,证明函数f(x)在A,B两点处的导数的积等于-1即可;
(2)分类讨论,构造函数,即可得出结论.

解答 (1)证明:由题意,不妨设A,B的横坐标分别为x1,x2,且0<x1<1,x1>1,则
∵-lnx1=lnx2
∴x1x2=1
∵f′(x1)=-$\frac{1}{{x}_{1}}$,f′(x2)=$\frac{1}{{x}_{2}}$,
∴f′(x1)f′(x2)=-1,
∴函数f(x)在A,B两点处的切线互相垂直.
(2)解:f′(x)=$\frac{1}{x}$,
0<x<1时,-lnx=$\frac{1}{x}$,∴-xlnx=1,
令h(x)=1+xlnx,则h′(x)=lnx+1=0,∴x=$\frac{1}{e}$,
∴函数在(0,$\frac{1}{e}$)上单调递减,在($\frac{1}{e}$,+∞)上单调递增,
∴h(x)min=h($\frac{1}{e}$)=1-$\frac{1}{e}$>0,
∴方程无解;
x≥1时,lnx=$\frac{1}{x}$,∴xlnx=1,
令g(x)=-1+xlnx,则g′(x)=lnx+1=0,∴x=$\frac{1}{e}$,
∴函数在(1,+∞)上单调递增,
∴g(x)min=g(1)=-1<0,∴方程有1根.

点评 本题考查导数知识的综合运用,考查导数的几何意义,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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