题目内容
【题目】设
.
（1）求
在
处的切线方程；
（2）令
，求
的单调区间；
（3）若任意
且
，都有
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
;（2）见解析;（3）
.
【解析】试题分析: (1)先确定对应区间函数解析式，再根据导数几何意义，可得切线斜率，最后根据点斜式写切线方程，(2)先根据函数定义域去掉绝对值，再求导数，为研究导函数零点，需对导函数再次求导，利用二次求导得到导函数最大值为零，因此原函数单调递减，即得函数单调区间，（3）研究不等式恒成立问题，关键利用变量分类法进行转化： 
等价于
，所以等价于
在
上是增函数，也即等价于
，再次变量分离得等价于
的最大值，最后利用导数求
最大值即可.
试题解析:
（1）
，
当
时
，∴
，
则
在
处的切线方程为
，即
.
（2）
在定义域为
，∴
，则
，
令
，则
，
由
得
， 
得
，则
在
上为增函数，
在
为减函数，即
在
上为增函数，在
为减函数，
∴
，
∴
在
上为减函数；
（3）据题意，当
时， 
恒成立，
∴当
时， 
恒成立，
∴
在
上是增函数，
∴
，
∴
，
令
，
∴
，
∴
在
上为减函数，
∴
，
∴
.
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