Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+2的导函数为f′（x），若f′（x）为奇函数，则有（ ）
A．a≠0，c=0
B．b=0
C．a=0，c≠0
D．a²+c²=0

Answer 1

【答案】分析：先求导数f′（x），由f′（x）为奇函数可知f'（x）=-f'（-x），故3ax²+c恒成立恒成立，所以a=c=0，由此得出答案．
解答：解：函数f（x）=ax³+bx²+cx+2的导函数为f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函数f′（x）=3ax²+2bx+c是定义在R上的奇函数，
∴f'（x）=-f'（-x），即3ax²+2bx+c=-3ax²+2bx-+c，
∴3ax²+c恒成立，a=c=0．即a²+c²=0．
故选D．
点评：本题考查导数的运算、函数奇偶性的判断、函数的解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．