Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN||BM|为定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得e= = ，
又△OAB的面积为1，可得 ab=1，
且a2﹣b2=c2 ，
解得a=2，b=1，c= ，
可得椭圆C的方程为 +y2=1；
（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x0 ， y0），
可得x02+4y02=4，
直线PA：y= （x﹣2），令x=0，可得y=﹣ ，
则|BM|=|1+ |；
直线PB：y= x+1，令y=0，可得x=﹣ ，
则|AN|=|2+ |．
可得|AN||BM|=|2+ ||1+ |
=| |=| |
=| |=4，
即有|AN||BM|为定值4．
证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
直线PA：y= （x﹣2），令x=0，可得y=﹣ ，
则|BM|=| |；
直线PB：y= x+1，令y=0，可得x=﹣ ，
则|AN|=| |．
即有|AN||BM|=| || |
=2| |
=2| |=4．
则|AN||BM|为定值4
【解析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）方法一、设椭圆上点P（x0 ， y0），可得x02+4y02=4，求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN||BM|为定值4．
方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN||BM|为定值4．
【考点精析】掌握椭圆的概念和椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．