Question

（2009•奉贤区一模）A岛正南40海里处的洋面B上有一条走私船．它正以10

5

海里/小时的速度朝北偏东θ(θ=arctan

1

2

)的方向作匀速直线方向逃走．3小时后有关部门接到报警并派辑私船从A岛出发追击走私船．如图所示，建立平面直角坐标系，
（1）写出3小时后走私船Q₁的坐标以及t小时后走私船Q_t的坐标
（2）已知辑私船的最大航速度为40

2

海里/小时，并假设走私船在逃走时不改变它的航向，辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间?

Answer 1

分析：（1）先求出t时刻甲、乙两船对应的坐标；直接把t=3代入即可求出P、Q两点的坐标；
（2）先根据余弦定理得到关于时间的等式，再解方程求出对应的时间，进而求出对应的方向．

解答：解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的坐标系．
设在t时刻甲、乙两船分别在P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则

x1=15 2 tcos45°=15t y1=x1=15t.

由θ=arctan

1

2

，可得cosθ=

2 5

5

，sinθ=

5

5

，
x₂=10

5

tsinθ=10t，y₂=10

5

tcosθ-40=20t-40．
（1）Q点的坐标分别为（30，20）；Q_t（10t，20t-40）（3+3分）
（2）由θ=arctan

1

2

，可得cosθ=

2 5

5

，
[40

2

(t-3)]2=402+(10

5

t)2-2×40×10

5

tcosθ（3分）
2t²-176t+272=0，t1=4，t2=

68

27

＜3（舍去）（2分）
所以所需时间4-3=1小时，（1分）
此时Q'（40，40），所以方向北偏东45⁰（2分）

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解此类题常需将它转化为数学问题，建立数学模型．在设计方案时，应以简便、合理为原则．