题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求的单调区间;
(2)若图像上任意一点
处的切线的斜率
,求
的取值范围;
(3)若对于区间上任意两个不相等的实数
都有
成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】试题分析:
(1)求导数后,解不等式可得函数的单调区间.(2)由题意可求得导函数的最小值为,可得
,结合
,可得
,即为所求范围.(3)由题意得当
时,
在区间
上恒单调递减,故有
.然后根据
的取值的到函数
的单调性,从而去掉
中的绝对值,将问题转化为函数在区间上单调的问题处理,结合导函数的符号可求得所求范围.
试题解析:
(1)由,
得
因为,
所以由得
;
由得
.
所以函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2)由(1)可知,
所以,
由,得
,
整理得,
解得
又,
所以.
故实数的取值范围为
.
(3)不妨设,
当时,
在区间
上恒单调递减,有
①当时,
在区间
上单调递减,
故,
则等价于
,
令,由
知
在区间
上单调递减,
又,
所以当时,
恒成立,
所以,
解得.
② .
③当,
在区间
上单调递增,
故
则等价于
,
令,由
知
在区间
上单调递减,
又,
所以当时,
恒成立,
所以,
解得,
综上可得实数的取值范围为
.
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