题目内容

(本题满分14分)已知{ an }是等差数列,{ bn }是等比数列,Sn是{ an }的前n项和,a1 = b1 = 1,

(Ⅰ)若b2a1a3的等差中项,求anbn的通项公式;

(Ⅱ)若an∈N*,{}是公比为9的等比数列,求证:

解  设等差数列{ an }的公差为d,等比数列{ bn }公比为q

(Ⅰ)∵ ,∴ ,而 a1 = b1 = 1,则 q(2 + d)= 12.①

又 ∵ b2a1a3的等差中项,

a1 + a3 = 2b2,得1 + 1 + 2d = 2q,即 1 + d = q.                                            ②

联立①,②,解得  或                  …………………… 4分

所以 an = 1 +(n-1)· 2 = 2n-1,bn = 3n-1

an = 1 +(n-1)·(-5)= 6-5nbn =(-4)n-1.       …………………… 6分

(Ⅱ) ∵ an∈N*

,即 qd = 32.                     ①     …………………… 8分

由(Ⅰ)知  q ( 2 + d ) = 12,得 .            ②

a1 = 1,an∈N*,∴ d为正整数,从而根据①②知q>1且q也为正整数,

d可为1或2或4,但同时满足①②两个等式的只有d = 2,q = 3,

an = 2n-1,.                                …………………… 10分

n≥2).

n≥2时,

显然,当n = 1时,不等式成立.故n∈N*

…………………… 14分

思路2   或者利用n≥2)从第三项开始放缩

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