题目内容
【题目】已知椭圆中心在坐标原点,焦点在
轴上,且过
,直线
与椭圆交于
,
两点(
,
两点不是左右顶点),若直线
的斜率为
时,弦
的中点
在直线
上.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)若以,
两点为直径的圆过椭圆的右顶点,则直线
是否经过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.
【答案】(1) 椭圆的方程为:;(2)见解析.
【解析】
(1)根据斜率公式以及中点坐标公式得,
,再由椭圆的标准方程利用点差法得
,因此可得
,最后与
在椭圆上联立方程组解得
,(2)根据以
,
两点为直径的圆过椭圆的右顶点,得
,设直线方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理代入化简得
,解得
或
,即得定点,最后验证斜率不存在的情形也满足.
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为,
,
由题意直线的斜率为
,弦
的中点
在直线
上,得
,
,
再根据作差变形得
,所以
,又因为椭圆过
得到
,
所以椭圆的方程为:.
(Ⅱ)由题意可得椭圆右顶点,
⑴当直线的斜率不存在时,设直线
的方程为
,此时要使以
,
两点为直径的圆过椭圆的右顶点则有以
解得
或
(舍)此时直线
为
⑵当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,则有
,
化简得①
联立直线和椭圆方程得
,
,
②
把②代入①得
即
,得
或
此时直线
过
或
(舍)
综上所述直线过定点
.
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