题目内容
【题目】设集合
，若
是
的子集，把中的所有数的和称为的“容量”（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，命题①：的奇子集与偶子集个数相等；命题②：当
时，的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等，则下列说法正确的是（ ）
A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立
C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立
【答案】A
【解析】
设
为
的奇子集，构造集合
，得到奇子集与偶子集个数相等，①正确；
计算奇子集容量之和是
，等于偶子集的容量之和，得到②正确，判断得到答案.
设为的奇子集，令，则
是偶子集
是奇子集到偶子集的一一对应，且每个偶子集，均恰有一个奇子集，
与之对应，故的奇子集与偶子集个数相等，所以①正确；
对任一
，含
的子集共有
个，用上面的对应方法可知，在
时，这个子集中有一半是奇子集，在
时，由于
，将上边的1换成3，同样可得其中有一半是奇子集，于是计算奇子集容量之和是，根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，所以当时，的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等，即命题②正确，
故应选
.
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