Question

【题目】已知函数f（x）=（a、b∈R，a、b为常数），且y=f（x）在x=1处切线方程为y=x﹣1．
（1）求a，b的值；
（2）设h（x）= ， k（x）=2h′（x）x2 ， 求证：当x＞0时，k（x）＜+ ．

Answer 1

【答案】解：（1）由题意知，f′（x）=，
故f（1）=ln（1+a）+b=0，
f′（1）=﹣[ln（1+a）+b]=1，
解得，a=b=0；
（2）证明：h（x）==，
h′（x）=，
k（x）=2h′（x）x2=；
当x＞0时，令t=2x，=的导数为，
显然t=1取得最大值．
即有∈（0，]，
设m（x）=1﹣2xlnx﹣2x，
m′（x）=﹣2lnx﹣4=﹣2（lnx+2），
故m（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
故mmax（x）=m（）=1+且g（x）与m（x）不于同一点取等号，
故k（x）＜（1+）=+．
【解析】（1）先求导f′（x），从而由f（1）=ln（1+a）+b=0，f′（1）=1组成方程组求解即可；
（2）化简h（x），求导h′（x），从而化简k（x）=2h′（x）x2 ， 分别判断与1﹣2xlnx﹣2x的最大值即可证明．